Algorithmique : la récursion

Fonctions qui s’appellent elles-mêmes

Claire Borrelli

2023-11-21

Table of contents

• 1. Le principe de récursion
• 2. Cas de base et cas récursif
• 3. La pile d’appels
• 4. Récursif vs itératif
• 5. Le coût caché : Fibonacci

Plan

1. Qu’est-ce que la récursion ?
2. Cas de base et cas récursif
3. La pile d’appels et ses limites
4. Récursif vs itératif
5. Exemple : Fibonacci et le coût caché de la récursion naïve

1. Le principe de récursion

Une définition qui s’appelle elle-même

Note

Une fonction est récursive si, pour calculer son résultat, elle s’appelle elle-même sur une version “plus petite” du problème.

Exemple mathématique — la somme des \(n\) premiers entiers :

\[S(n) = \begin{cases} 0 & \text{si } n = 0 \\ n + S(n-1) & \text{si } n > 0 \end{cases}\]

\(S\) est définie en fonction d’elle-même : c’est une récurrence.

En Python

def somme_recursive(n):
    if n == 0:
        return 0
    return n + somme_recursive(n - 1)

somme_recursive(5)  # 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0

15

Chaque appel réduit le problème (n diminue) jusqu’à atteindre un cas trivial (n == 0) qu’on sait résoudre directement.

2. Cas de base et cas récursif

La structure typique

Une fonction récursive comporte toujours deux parties :

• le cas de base : une situation simple, résolue directement, sans nouvel appel — c’est ce qui arrête la récursion
• le cas récursif : la fonction s’appelle elle-même sur une entrée plus petite, en se rapprochant du cas de base

def fonction_recursive(entree):
    if condition_arret(entree):          # cas de base
        return valeur_directe
    else:                                 # cas récursif
        return combine(entree, fonction_recursive(reduit(entree)))

Que se passe-t-il sans cas de base ?

def somme_sans_arret(n):
    return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

somme_sans_arret(5)

---------------------------------------------------------------------------
RecursionError                            Traceback (most recent call last)
Cell In[2], line 4
      1 def somme_sans_arret(n):
      2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !
      3 
----> 4 somme_sans_arret(5)

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
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      1 def somme_sans_arret(n):
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      1 def somme_sans_arret(n):
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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
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      1 def somme_sans_arret(n):
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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

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      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

Cell In[2], line 2, in somme_sans_arret(n)
      1 def somme_sans_arret(n):
----> 2     return n + somme_sans_arret(n - 1)  # ne s'arrête jamais !

RecursionError: maximum recursion depth exceeded

Sans condition d’arrêt, la fonction s’appelle indéfiniment — jusqu’à ce que Python lève une erreur.

3. La pile d’appels

Comment Python exécute la récursion

Chaque appel de fonction est empilé en mémoire (la pile d’appels) tant qu’il attend le résultat de l’appel suivant. Les résultats “redescendent” la pile une fois les cas de base atteints.

Pour somme_recursive(3) :

somme_recursive(3) attend somme_recursive(2)
  somme_recursive(2) attend somme_recursive(1)
    somme_recursive(1) attend somme_recursive(0)
      somme_recursive(0) = 0        ← cas de base atteint
    somme_recursive(1) = 1 + 0 = 1
  somme_recursive(2) = 2 + 1 = 3
somme_recursive(3) = 3 + 3 = 6

La profondeur de récursion a une limite

import sys
print("Limite par défaut :", sys.getrecursionlimit())

somme_recursive(5000)  # dépasse la limite → RecursionError

Limite par défaut : 1000

---------------------------------------------------------------------------
RecursionError                            Traceback (most recent call last)
Cell In[3], line 4
      1 import sys
      2 print("Limite par défaut :", sys.getrecursionlimit())
      3 
----> 4 somme_recursive(5000)  # dépasse la limite → RecursionError

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

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      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

Cell In[1], line 4, in somme_recursive(n)
      1 def somme_recursive(n):
      2     if n == 0:
      3         return 0
----> 4     return n + somme_recursive(n - 1)

RecursionError: maximum recursion depth exceeded

Chaque appel en attente occupe de la mémoire. Une récursion trop profonde provoque une RecursionError (ou un plantage sur d’autres langages).

4. Récursif vs itératif

Deux façons d’écrire la même chose

Tout ce qu’on peut faire récursivement, on peut aussi l’écrire avec une boucle — sans les limites de la pile d’appels.

def somme_iterative(n):
    total = 0
    for i in range(n + 1):
        total += i
    return total

somme_iterative(5000)  # fonctionne sans problème

12502500

Quand préférer quoi ?

• Récursif : souvent plus lisible pour des problèmes définis eux-mêmes de façon récursive (arbres, structures imbriquées, “diviser pour régner”)
• Itératif : évite les limites de profondeur et l’overhead des appels de fonction — souvent plus efficace en pratique
• En Python, la récursion n’est pas optimisée (pas de “tail-call optimization”) : pour de grandes tailles, l’itératif est presque toujours préférable

5. Le coût caché : Fibonacci

La suite de Fibonacci, version naïve

\[F(n) = \begin{cases} n & \text{si } n \le 1 \\ F(n-1) + F(n-2) & \text{sinon} \end{cases}\]

def fib_naif(n):
    if n <= 1:
        return n
    return fib_naif(n - 1) + fib_naif(n - 2)

fib_naif(10)

55

Cette écriture est directe… mais cache un problème de performance.

Combien d’appels sont recalculés ?

compteur = {"appels": 0}

def fib_compte(n):
    compteur["appels"] += 1
    if n <= 1:
        return n
    return fib_compte(n - 1) + fib_compte(n - 2)

compteur["appels"] = 0
fib_compte(20)
print(f"{compteur['appels']} appels pour calculer fib(20)")

21891 appels pour calculer fib(20)

fib_naif(n-2) est recalculé à chaque fois qu’on redemande fib_naif(n-1) et fib_naif(n-2) séparément : le nombre d’appels explose de façon exponentielle.

La solution : mémoïser

On garde en mémoire les résultats déjà calculés, pour ne jamais refaire le même calcul deux fois.

def fib_memo(n, cache={}):
    if n in cache:
        return cache[n]
    if n <= 1:
        return n
    resultat = fib_memo(n - 1, cache) + fib_memo(n - 2, cache)
    cache[n] = resultat
    return resultat

fib_memo(50)  # instantané, alors que fib_naif(50) prendrait des minutes

12586269025

Comparaison des temps d’exécution

import time
import matplotlib.pyplot as plt

valeurs_n = list(range(10, 31, 2))
temps_naif, temps_memo = [], []

for n in valeurs_n:
    debut = time.perf_counter()
    fib_naif(n)
    temps_naif.append(time.perf_counter() - debut)

    debut = time.perf_counter()
    fib_memo(n, cache={})
    temps_memo.append(time.perf_counter() - debut)

plt.figure(figsize=(7, 4.5))
plt.plot(valeurs_n, temps_naif, marker="o", label="fib_naif (récursion pure)")
plt.plot(valeurs_n, temps_memo, marker="o", label="fib_memo (mémoïsation)")
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Temps d'exécution (s)")
plt.yscale("log")
plt.title("Coût de la récursion naïve vs mémoïsée")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

Conclusion

• La récursion structure un problème en cas de base + cas récursif, en s’appuyant sur la pile d’appels
• Elle est limitée par la profondeur de récursion (mémoire), contrairement à une boucle équivalente
• Une récursion mal pensée peut recalculer les mêmes sous-problèmes un nombre exponentiel de fois
• La mémoïsation (garder les résultats déjà calculés) résout ce problème sans renoncer à l’écriture récursive